Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N thứ tự là trung điểm CD và DD'; G và G' lần lượt là trọng tâm tứ diện A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tứ diện A’D’NM và BCC’D’. Đặt A B → = a → ; A A ' → = b → ; A D → = c → .
Đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (AA’B’B) vì:
A. Vecto G G ' → cùng phương với vecto C D →
B. Vecto G G ' → cùng phương với vecto M N →
C. Vecto G G ' → đồng phẳng với hai vecto a → v à b →
D. Vecto G G ' → đồng phẳng với hai vecto b → v à c → .
Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD,CD.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (ACD).
b. Chứng minh rằng đường thẳng BC song song với mặt phẳng (ANP)
c. Gọi G, H lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ACD. Chứng minh GH // BD.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của CD và DD' G và G' lần lượt là trọng tâm tứ diện A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau
1. Cho tứ giác ABCD ( AD không song song BC) có E,F lần lượt là trung điểm AD, BC và EF=AB+CD/2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang.
2. Cho tứ giác ABCD có AD=BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N của 2 cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh góc AEM=góc MFB.
3. Cho tam giác ABC (AB>AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD=AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh góc BAC = 2.BMN
4. Cho tứ giác ABCD, gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đồng quy.
5. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Đường thẳng d không cắt các cạnh của tam giác ABC. Gọi A', B', C', G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, G trên đường thẳng d. Chứng minh GG'=AA'+BB'+CC'/3
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hành
Xét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bình
Lại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’
=> Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành
b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :
Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)
⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).
c)
Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :
K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)
K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)
⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.
Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’
d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.
Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)
G ∈ C’K.
⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.
+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’
⇒ K là trung điểm AB’.
ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K
⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song và các mặt phẳng (ADF) và (BCF)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).
a) Do các tứ giác ABCD và ABEF là các hình bình hành
=> O là trung điểm của AC và BD
và O’ là trung điểm của AE và BF. (tính chất hình bình hành).
+ ΔBFD có OO’ là đường trung bình nên OO’ // DF
mà DF ⊂ (ADF)
⇒ OO' // (ADF)
+ ΔAEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC
mà EC ⊂ (BCE)
⇒ OO’ // (BCE).
b)
Ta thấy mp(CEF) chính là mp(CEFD).
Gọi I là trung điểm của AB:
+ M là trọng tâm ΔABD
⇒ IM/ ID = 1/3.
+ N là trọng tâm ΔABE
⇒ IN/IE = 1/3.
+ ΔIDE có IM/ID = IN/IE = 1/3
⇒ MN // DE mà ED ⊂ (CEFD)
nên MN // (CEFD) hay MN // (CEF).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'
a) Chứng minh rằng AM song song với A'M'
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB'C') với đường thẳng A'M
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (BA'C')
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM'M)
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB'C'
a) Do MM' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' nên M'M//BB'//CC'. Vì vậy MM'//AA'.
Vì vậy tứ giác A'M'MA là hình bình hành. Suy ra: AM//A'M'.
b) Trong mp (AA'M'M), ta có: MA' ∩ AM' = K.
Do \(K\in A'M\) và \(A'M\in\left(AB'C'\right)\) nên K (AB'C').
c) Có \(O=AB'\cap A'B\) nên \(O\in\left(AB'C'\right)\cap\left(BA'C'\right)\).
Suy ra: \(d\equiv CO'\).
d) Trong (AB'C'): C'O ∩ AM' = G vì vậy G ( AMM') . Mà O, M' lần lượt là trung điểm AB' và B'C' nên G là trọng tâm của tam giác AB'C'.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O' lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO' song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF)
a) OO' là đường trung bình của tam giác DBF nên OO' // DF.
DF nằm trong mặt phẳng (ADF) nên OO' // mp(ADF).
Tương tự OO' // CE mà CE nằm trong mặt phẳng (BCE) nên OO' // mp(BCE).
b) Gọi J là trung điểm đoạn thẳng AB, theo định lí Ta-lét \(\Rightarrow\) MN // DE => đpcm.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC
⇒ A’D’CB là hình bình hành
⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)
+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’
⇒ BDD’B’ là hình bình hành
⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)
A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).
b) Gọi O = AC ∩ BD
+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)
⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).
Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G1.
G1 ∈ A’O ⊂ (A’BD)
⇒ G1 ∈ AC’ ∩ (BDA’).
+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’
⇒ A’I = IC.
⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC
⇒ G 1 = A ’ O ∩ A C ’ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC
⇒ G 1 là trọng tâm ΔA’AC
⇒ A ’ G 1 = 2 . A ’ O / 3
⇒ G 1 cũng là trọng tâm ΔA’BD.
Vậy AC' đi qua trọng tâm G 1 của ΔA’BD.
Chứng minh tương tự đối với điểm G 2 .
c) *Vì G 1 là trọng tâm của ΔAA’C nên A G 1 / A I = 2 / 3 .
Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’
Từ các kết quả này, ta có : A G 1 = 1 / 3 . A C ’
*Chứng minh tương tự ta có : C ’ G 2 = 1 / 3 . A C ’
Suy ra : A G 1 = G 1 G 2 = G 2 C ’ = 1 / 3 . A C ’ .
d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.